二次函数

含字母系数的二次函数

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含字母系数的二次函数

含字母系数的二次函数的探究,既要灵活运用二次函数图像的基本特征和性质,有时还要综合运用代数式的恒等变形、一元二次方程根的分布、不等式(组)以及几何图形的有关性质等,具有很强的综合性.

在解题时,要从多角度去探索和思考解题方法,优化解题策略.

以下介绍常见字母系数在二次函数中的应用,在解题时要熟练灵活的运用这些方法.

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二次函数图像与 x 轴的交点
  1. 当 △>0 时,抛物线与 x 轴有两个交点,两个交点坐标分别为 (, 0)、(, 0) ;
  2. 当 △=0 时,抛物线与 x 轴只有一个交点,交点坐标分别为 (, 0);
  3. 当 △<0 时,抛物线与 x 轴没有交点,交点坐标分别为 (, 0);

有两个交点时,两交点间的距离为

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与直线 y=kx+m (k≠0) 的交点

y=kx+m (k≠0) 联立方程,消去 y 得方程:

  1. 当 △>0 时,抛物线与直线有两个交点;
  2. 当 △=0 时,抛物线与直线只有一个交点;
  3. 当 △<0 时,抛物线与直线没有交点.

也可以通过消去 x 来讨论.

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图像的平移

图象的平移使用顶点式较为简便,其规律是 “左加右减” ,“上加下减”.把抛物线 向左平移 mm>0)个单位长度,再向上平移 nn>0)个单位长度,得到抛物线

相反,向右再向下同样的单位长度,得到抛物线

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对称
  1. 关于 x 轴对称:作 变量 替换,规律为横(坐标)同,纵(坐标)反.抛物线 与抛物线 关于 x 轴对称;
  2. 关于 x 轴对称:作变量替换,规律为横(坐标)反,纵(坐标)同.抛物线 与抛物线 与 关于 x 轴对称;
  3. 关于原点对称:作变量替换,规律为横(坐标)反,纵(坐标)反. 与抛物线 关于原点对称.
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例题1

已知 二次函数 的图像与 x 轴都有两个不同的交点,问:函数 的图象与 x 轴是否相交?为什么?


∵ 二次函数 的图象与 x 轴有两个不同的交点 ,

∴ 其 △=>0 ... ...(1)

同理,函数 的 △=>0 ... ...(2)

(1)+(2)得,,

,

函数 的△=,

所以函数 的图像与 x 轴不相交.

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例题2

已知二次函数 的图象经过两点 P(1,a),Q(2,10a),abc 都是整数,且 c<b<8a,求 abc 的值.

解:由题,函数过点 P(1,a),Q(2,10a

a=1+b-c ... ...(1),10a=4+2b-c ... ...(2)

(2)-2(1)得 8a=2+cc=8a-2(3)

将(3)代入 (1),得 b=9a-3

c<b<8a

∴ 9a-3>8a-2,9a-3<8a

得 1<a<3

a 为整数,∴ a=2

b=15,c=14

综上,a=2,b=15,c=14

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