不等式与不等式组

一元二次不等式

1
定义

含有一个未知数且未知数的最高次数为 2 的不等式叫做一元二次不等式.

它的一般形式是

2
例题

如何求 的解集?


我们知道,二次 方程 有两个 实数 根,分别是 x=1,x=3.

观察图像,当 1<x<3 时,图像在 x 轴下方,此时 y<0,即

x<1 或 x>3 时,图像在 x 轴上方,此时 y>0, 即

所以,不等式 的解集是{x | 1<x<3}.

3
探究一般一元二次不等式的解法

一元二次不 等式 的一般形式是 a≠0).

  1. 观察抛物线 x 轴的相关位置的情况,即观察 方程 的根的情况.
  2. 抛物线的开口方向,即 a 的符号.
  3. 抛物线与 x 轴的位置关系分为三种情况,分别为有两个交点(>0), 有一个交点(=0),没有交点(<0).
4
一元二次不等式根的情况

1. a>0

<0 =0 <0
二次函数 (a>0) 的图像
一元二次方程 有两个相异实根 有两个相等实根 无实数根
(a>0) 的根 {x} {x} 无实数根
(a>0) 的解集 {x} {x } R
(a>0) 的解集 {x} {x}

2. a<0

>0 =0 <0
二次函数 (a<0) 的图像 y = a{x^2} + bx + c
y = a{x^2} + bx + c
一元二次方程 有两个相异实根 有两个相等实根 无实数根
(a<0) 的根 {x} {x} 无实数根
(a<0) 的解集 {x}
(a>0) 的解集 {x} {x} R

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