一元二次不等式 | 禾教 - 初中数学互动课堂

不等式与不等式组

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一元一次不等式
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一元一次不等式（组）应用题
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一元二次不等式
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一元二次不等式

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定义

含有一个未知数且未知数的最高次数为 2 的不等式叫做一元二次不等式．

它的一般形式是 $a x 2 + b x + c > 0$ 或 $a x 2 + b x + c < 0$ ．

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例题

如何求 $x 2 - 4 x + 3 < 0$ 的解集？

我们知道，二次方程 $x 2 - 4 x + 3 = y$ 有两个实数根，分别是 x=1，x=3．

观察图像，当 1<x<3 时，图像在 x 轴下方，此时 y<0，即 $x 2 - 4 x + 3 < 0$ ．

当 x<1 或 x>3 时，图像在 x 轴上方，此时 y>0, 即 $x 2 - 4 x + 3 > 0$ ．

所以，不等式 $x 2 - 4 x + 3 < 0$ 的解集是{x | 1<x<3}．

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探究一般一元二次不等式的解法

一元二次不等式的一般形式是 $a x 2 + b x + c > 0$ 或 $a x 2 + b x + c < 0$ （a≠0）．

观察抛物线 $y = a x 2 + b x + c$ 与 x 轴的相关位置的情况，即观察方程 $a x 2 + b x + c = 0$ 的根的情况．
抛物线的开口方向，即 a 的符号．
抛物线与 x 轴的位置关系分为三种情况，分别为有两个交点（ $Δ$ >0）, 有一个交点（ $Δ$ =0），没有交点（ $Δ$ <0）．

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一元二次不等式根的情况

1. a>0

	$Δ$ <0	$Δ$ =0	$Δ$ <0
二次函数 $y = a x 2 + b x + c$ (a>0) 的图像	$y = a x 2 + b x + c$	$y = a x 2 + b x + c$	$y = a x 2 + b x + c$
一元二次方程	有两个相异实根	有两个相等实根	无实数根
$a x 2 + b x + c = 0$ (a>0) 的根	{x｜ $x 1 , x 2 (x 1 < x 2 )$ }	{x｜ $x 1 = x 2 = - \frac{ b }{ 2 a }$ }	无实数根
$a x 2 + b x + c > 0$ (a>0) 的解集	{x ｜ $x < x 1 或 x > x 2 $ }	{x｜ $x \neq - \frac{ b }{ 2 a }$ }	R
$a x 2 + b x + c < 0$ (a>0) 的解集	{x｜ $x 1 < x < x 2 $ }	{x｜ $x 1 < x < x 2 $ }	$\emptyset$

2. a<0

	$Δ$ >0	$Δ$ =0	$Δ$ <0
二次函数 $y = a x 2 + b x + c$ (a<0) 的图像	y = a{x^2} + bx + c	y = a{x^2} + bx + c	$y = a x 2 + b x + c$
一元二次方程	有两个相异实根	有两个相等实根	无实数根
$a x 2 + b x + c = 0$ (a<0) 的根	{x｜ $x 1 , x 2 (x 1 < x 2 )$ }	{x｜ $x 1 = x 2 = - \frac{ b }{ 2 a }$ }	无实数根
$a x 2 + b x + c > 0$ (a<0) 的解集	{x｜ $x 1 < x < x 2 $ }	$\emptyset$	$\emptyset$
$a x 2 + b x + c < 0$ (a>0) 的解集	{x｜ $x < x 1 或 x > x 2 $ }	{x｜ $x \neq x 1 或 x 2 $ }	R