垂直于弦的直径

1
垂径定理

垂直 的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.

证明:


如图,在 O 中,DC 为直径,AB 是弦,ABDC 于点 EABCD 交于 E,求证:AE=BE,弧 AC=弧 BC,弧 AD=弧 BD

解:连接 OAOB

OAOB 是圆 O 的半径,

∴ △OAB 是等腰三角形,

ABDC

AE=BE,,

AD=弧 BD,,

∴ 弧 AC=弧 BC

2
推论

推论 1:

  1. 平分弦(非直径)的直径 垂直 于弦,并且平分该弦所对的两条弧;
  2. 弦的垂直平分线经过 心,并且平分该弦所对的两条弧;
  3. 平分弧的直径,垂直平分该弧所对的弦,并且平分该弦所对的另一条弧.

推论 2:

  1. 圆的两条 平行 弦所夹的弧相等.

3
弦心距

心到弦的距离叫做弦心距

4
圆心角、弧、弦与弦心距之间的关系
  1. 定理

    在同或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,弦心距相等.

  2. 推论

    在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

5
剖析
  1. 有关弦的问题常常添加 心到弦的垂线,即做弦心距为辅助线.
  2. 这里所说的圆心角一般情况,指小于 平角 的角,因此,它所对的弧是劣弧.
  3. 不能忽略推论中的条件 “同圆或等圆”.
  4. 一条弦对应两条弧(一条优弧,一条劣弧).“所对的弧” 是指优弧或劣弧分别对应相等.
6
圆的对称性

圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

  1. 圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心;

    圆还具有旋转不变性(是中心对称的特例).

  2. 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴.

    圆有无数条对称轴.

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