反比例函数

反比例函数的图像和性质

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画反比例函数的图像

一次函数 y=kx+bk≠0)的图象是一条 直线二次函数 的图象是一条抛物线,反比例函数 k 为常数,k≠0)的图象是什么样呢?

我们用 “描” 点的方法,画出反 比例函数 的图像,并利用图象研究反比例函数的性质 k>0 时.

画出反比例函数 的图像.

  1. 列表:先列表表示若干组 xy 的对应值:
  2. 描点:在 平面直角坐标系 中找出这些一一对应的 xy 坐标.
  3. 连线:用平滑的曲线顺次连接这些点,就得到所要的反比例函数图象.
x -12 -6 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 6 12
-1 -1.5 -2 -3 -6 6 3 2 1.5 1
-1 -2 -3 -4 -6 -12 12 6 4 3 2 1
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反比例函数的图象

反比例函数 的图象,是由两条曲线组成的双曲线.

这两条曲线分别位于第一、三象限(k>0 时)或第二、四象限(k<0 时).如图:

因为反 比例函数 中,自变量 x 不可能为 0,函数值 y 也不等于 0,所以反比例函数的图象与 x 轴和 y 轴都没有交点,但无限接近坐标轴.

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图象的特征和性质

反比例函数k≠0)

k 的符号 k>0 k<0
图像
性质 k>0 时,函数 的图象在第一、第三象限,在每个象限内,yx 增大而减小. k<0 时,函数的图象在第二、第四象限,在每个象限内,yx 增大而增大.
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比例常数 k 的几何意义

在双曲线上任取一点 pmn),过 px 轴,y 轴的垂线,pnpmpnpm 与坐标轴围成的 矩形 pmon 的面积 S=pmpn=|x||y|=|xy|=|k|, 即过双曲线上任意一点作 x 轴,y 轴的垂线,所得到的 矩形面积 均为 |k|.

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