含绝对值的一元二次方程 | 禾教

1

方程中有单个变量含绝对值

解方程 $x 2 $ - |x| -12=0：

x 大于等于 0 时可化为 $x 2 $ -x-12=0，

解出 x=-3（舎），x=4；

x 小于 0 时可化为 $x 2 $ +x-12=0，

解出 x=-4，x=3（舎）,

综上，x=-4，x=4．

注意进行分类讨论．

2

根据实根的数量求解未知量

$x 2 $ -3 | x | +2=m 恰有 3 个实数根，求 m．

解法一：

因为 $x 2 $ = $∣ x ∣ 2 $ ，

所以原方程可以化为 $∣ x ∣ 2 $ -3 | x | +2-m=0．

方程有 3 个根，所以其中 1 根必为 0，否则方程有 4 个根 ,

所以将 x=0 代入方程，得 m=2．

解法二：

可以数形结合得出答案，作出 $x 2 $ -3x+2=0 在 x=0 右侧的图案．

再作出 $x 2 $ +3x+2=0 在 X=0 左侧的图案．

上下移动 y=m，看何时与图像有 3 个交点．

3

方程整体含有绝对值

当 a 取何值时，方程 | $x 2 $ -4x|=a 有且仅有两个相异的实数根．

数形结合，先画出方程 $x 2 $ -4x=0 的图像，再将其在 x 轴下方的部分关于 x 轴翻折，移动 y=a，看何时 y=a 与方程 $x 2 $ -4x=0 的图像交点符合有且仅有两个，且符号相异

4

字母系数含绝对值

已知恰有一个实数满足方程（|a| -1） $x 2 $ +2(a+1)x+1=0, 求 a 得值．

由题，|a| -1=0 且 (a+1) 不等于 0 时，a=1（符）．

综上，a 的值为 1 或 -2